مثال۲-۵ (مدل­های انتقالی رگرسیون نیم­پارامتری): این مدل­ها به صورت زیر تعریف می­شوند:
به­ طوری­که:

• • ، تابع توزیع نامعلوم است.

• • ، یک تابع صعودی پارامتری است.

• • و نیز توابع پارامتری هستند.

• • مستقل از است و با چگالی پارامتری با میانگین صفر و واریانس یک، هم توزیع و مستقل است،.

به­راحتی می­توان دید که در این حالت در (۲-۱۶) توسط چگالی مفصل زیر ساخته می­ شود:
به­ طوری­که شامل عناصر فاصله­ای است.
فرایند مارکوف ایستا با مفصل گاوسی در مثال قبل و توزیع کناری ناپارامتری را می­توان با جایگذاری در (۲-۱۶) تعیین کرد:
، ، ، چگالی نرمال استاندارد و .

۲-۲- ۶ نتیجه ­گیری

در این فصل بعضی روش­ها بر پایه مفصل برای تحلیل رگرسیونی ارائه شد. به ازای هر یک از مدل­ها، شکل بسته­ای برای توزیع توأم، بیان شد و با روش­های ماکسیمم درستنمایی استاندارد و بدون استفاده از توزیع ساده معلومی از عوامل مشاهده ناشدنی که همبستگی را استنباط می­ کنند، برآورد کردیم. روش مفصل، پارامترهای وابسته­ای را که برآوردهای وابسته­سازی بین متغیرهای وابسته را آماده می­ کنند، را می­سازد.

متدلوژی مفصل و مدل تجربی ارائه شده در بخش ۲-۲، کاربردهای تجربی بسیاری دارند.
تحلیل رگرسیون بر پایه مفصل در کنار مراجعه به رگرسیون معمولی مفید است. می­بایست مفصل صحیح، یعنی ساختار وابستگی صحیح شناسایی شود اگر مفصل انتخابی صحیح نبود دستورالعمل را آنقدر تکرار می­کنیم تا مفصل صحیح پیدا شود.

فصل۳٫ استنباط بیزی مدل رگرسیونی بر پایه مفصل

۳- ۱ مقدمه

اساس تحلیل آماری مدرن، مدل­بندی و درک وابستگی بین متغیرهای تصادفی است. مفصل­ها ابزار انعطاف­پذیری هستند که با به کارگیری قضیه اسکلار بر پایه مدل­بندی جداگانه توزیع­های کناری و ساختار وابسته توأم، استفاده از توزیع­های چندمتغیره را کنار می­گذارند. در این بخش حالت دومتغیره بیان می­ شود.
مدل­های مفصل عمدتاً برای وابستگی بین متغیرهای تصادفی پیوسته به کار می­روند، اما مطالعه و کاربرد مدل­های مفصل برای داده ­های آمیخته (پیوسته و گسسته) در حال افزایش است. ژنه (۲۰۰۷) نشان داد که ، اجرا و تفسیر استنباط آماری برای مدل­های مفصل، وقتی بعضی از حاشیه­ها گسسته­اند به دقت بیشتری نیاز دارد.
درحالی­که غالباً روش­های بسامد­گرا در ادبیات مفصل به کار می­رود، اخیراً با بهره گرفتن از ابرکامپیوترها و الگوریتم­های استاندارد چند روش بیزی برای برآورد، انتخاب مدل و نیکویی برازش در ادبیات مفصل بیان شده است.
یک تعمیم معمول از مدل مفصل کلاسیک آن است که، پارامتر مفصل با تغییر در مقادیر متغیر کمکی تغییر می­ کند (لمبرت و واندنهند، ۲۰۰۲). این ایده که با مدل مفصل شرطی (پی­تن، ۲۰۰۶) فرمول­بندی می­ شود، مدل­سازی مفصل در حالت رگرسیونی است
به­طورکلی، مشخص نیست که چرا پارامتر مفصل بر اساس متغیر کمکی تغییر می­ کند. به­علاوه، وقتی نمونه­های موجود به­ طور یکنواخت توزیع نشده­اند (معمولاً در مقدار معینی از متغیر کمکی تکرار وجود ندارد) تجسم الگوهای وابستگی در داده ­ها ممکن نیست. بنابراین استفاده از روش­های منعطف برای مدل­سازی تابع کالبیدنی که ارتباط بین پارامتر مفصل و متغیر کمکی را مشخص کند، لازم است، که این مطلب به­ طور واضح ما را به استفاده از ابزارهای استنتاجی نیم­پارامتری و ناپارامتری در حالت حاشیه­های پیوسته سوق می­دهد.
در این بخش، استنباط بیزی توأم برای یک مدل مفصل شرطی که در آن غیر از مدل­های کناری، بین متغیرهای وابسته وابستگی وجود دارد، پیشنهاد می­ شود. و وابستگی بین پارامتر مفصل و متغیر کمکی با بهره گرفتن از اسپلاین مکعبی مدل­بندی می­ شود. استنباط بیزی توأم با بهره گرفتن از نمونه گیری مونت کارلوی زنجیر مارکوفی انجام می­ شود. این روش را می­توان برای حالت با متغیرهای وابسته پیوسته و آمیخته (دودوئی و پیوسته) به کار برد. روش بیزی به کار رفته در این­جا چند امتیاز دارد. اول این­که، روشی اصولی برای ایجاد استنباط بر پایه درستنمایی کامل برای حالتی که بعضی حاشیه­ها در مدل­های مفصل گسسته­اند، است. دوم، طبق الگوی بیزی، توزیع پسین نمایش کاملی از عدم حتمیت در داده ­های کامل و پیشین می­دهد. یک امتیاز دیگر این است که، برآورد همزمان پارامترهای توزیع­های کناری و پارامترهای مفصل درک بهتری از وابستگی­های پارامتر را نتیجه می­دهد و منجر به عملکرد بهتر معیار انتخاب مدل می­ شود.
به طور کلی، تعیین شکل تابع کالبیدن برای مدل­سازی مشکل است، بنابراین استفاده از مدل­های انعطاف­پذیر برای به دست آوردن ساختار آن توصیه می­ شود. در این­جا مدل اسپلاین مکعبی بیزی که در آن انتخاب موقعیت گره­ها داده رهنمون است، ارائه می­ شود. و نمونه گیری از توزیع پسین با بهره گرفتن از الگوریتم مونت کارلوی زنجیر مارکوفی سازوار (هریو و همکاران، ۲۰۰۵) انجام می­ شود.

۳-۲ مدل­سازی

در این بخش مدل مفصل شرطی برای متغیرهای وابسته که با هم وابستگی دارند، شرح داده می­ شود. فرمول­های مدل به کار برده برای متغیرهای وابسته پیوسته و آمیخته (دودوئی و پیوسته) را جداگانه بررسی می­کنیم زیرا دو موقعیت، الگوریتم محاسباتی متفاوتی برای نمونه گیری از توزیع پسین نیاز دارند و برآوردگرهای حاصل کارایی متفاوتی بیان می­ کنند.

۳-۲-۱ حالت متغیرهای وابسته پیوسته

داده ­ها شامل متغیر تصادفی پیوسته و متغیر کمکی برای نمونه ­ای به حجم n است. به­ طور کناری و به ازای از طریق به هم وابسته می­شوند. وابستگی شرطی بین و توسط مدل مفصل شرطی گاوسی با چگالی توأم زیر تعریف می­ شود:
که در آن، تابع توزیع نرمال استاندارد است و به ازای هر ، داریم:
مهم­ترین قسمت مدل مشخصه است. در این­جا فرض می­کنیم و ، به­ طوری­که تابع معلومی است که تکیه­گاه پارامتر مفصل را روی خط حقیقی می­نگارد، و تابع کالبیدن نامعلومی است که برآورد می­ شود. ما مدل انعطاف­پذیر اسپلاین مکعبی را به کار می­گیریم، پس داریم:
به­ طوری­که .
واضح است که عملکرد برآوردگرهای بر پایه اسپلاین تحت تأثیر موقعیت گره­های قرار می­گیرد. در مدل ما این انتخاب به صورت خودکار و با بهره گرفتن از داده رهنمون صورت می­گیرد.

۳-۲-۲ حالت متغیرهای وابسته آمیخته

در حالت متغیرهای وابسته آمیخته پاسخ شامل یک دودوئی و یک متغیر تصادفی پیوسته است که آن­ها را به ترتیب با و نشان می­دهیم. می­خواهیم استنباط آماری برای مدل­های لوژستیک کناری و رگرسیون خطی را به وسیله برآورد تابع کالبیدن انجام دهیم.
به ازای متغیرهای وابسته و متغیر کمکی ، فرض می­کنیم مدل­های کناری به صورت زیر باشند:
وابستگی بین و با بهره گرفتن از مفصل شرطی پارامتری تعریف می­ شود.
سهم نمونه -ام با درستنمایی زیر تعیین می­ شود :
که در آن و بردار شامل همه پارامترهای مدل است.
اثبات:
به ازای داریم:
به همین ترتیب به ازای داریم:
و بنابراین رابطه (۳-۲) اثبات می­ شود.
تا وقتی استنباط بیزی برای مدل لوژستیک انجام می­ شود، با بهره گرفتن از فرمول متغیر پنهان زیر می­توان مواجه شدن باچالش­های محاسباتی را کاهش داد:
که در آن ، به­ طوری­که به ازای هر دارای چگالی است. فرمول بالا را برای مدل مفصل شرطی (۳-۱) بسط می­دهیم. مشخصاً، فرض کنید که وابستگی بین متغیر پنهان و به وسیله مفصل شرطی مانند در (۳-۱)، مشخص شود. به شرط مشاهده و ، سهم نمونه -ام مطابق درستنمایی داده ­های کامل به صورت زیر است: