۳-۳-۱ تخمین نقطه تغییر پروفایل های پواسون با بهره گرفتن از برآورد MLE
توزیع پروفایل پواسون و شیفت در پارامترهای آن به صورت روابط زیر است (شرفی و همکاران،۲۰۱۲).
(۳-۱)
(۳-۲)
(۳-۳)
در روابط بالا متغیر پاسخ با توزیع پواسون، متغیر مستقل، پارامتر توزیع پواسون، و مقدار ثابت و و بردار پارامترهای رگرسیون پواسون در حالت در کنترل و خارج از کنترل هستند که به صورت زیر تعریف می شوند:
(۳-۴)
در مدل رگرسیون پواسون، n مجموعه آزمایشی مستقل با p متغیر پیش بینی در هر مجموعه وجود دارد که به صورت نشان داده می شود. تابع درستنمایی پروفایل پواسون به صورت زیر می باشد:
(۳-۵)
لگاریتم تابع درستنمایی پروفایل پواسون به صورت زیر می باشد:
(۳-۶)
از رابطه بالا نسبت به مشتق می گیریم
(۳-۷)
در نتیجه از حل معادله فوق رابطه زیر حاصل می شود :
(۳-۸)
شرفی و همکاران(۲۰۱۲) بیان کرد که با جایگذاری این رابطه در رابطه ۳-۶ ، تخمین نقطه تغییر پروفایل پواسون با روش MLE به صورت رابطه زیر بدست می آید:
(۳-۹)
۳-۳-۲ توسعه مدل نقطه تغییر پروفایل های پواسون و ایجاد نمودار کنترل LRT
در این روش همزمان با توسعه مدل نقطه تغییر بر اساس آزمون نسبت درستنمایی، یک نمودار کنترل بر اساس آماره ی نسبت درستنمایی استاندارد شده در فاز۲ کنترل فرایند آماری ایجاد می شود. در نمودار کنترل پیشنهاد شده برآورد پارامترهای پروفایل و بررسی شرایط خارج از کنترل به صورت همزمان انجام می شود و نیازی نیست که در دو مرحله ابتدا شرایط خارج از کنترل بررسی شود و سپس به تخمین نقطه تغییر پرداخته شود. به منظور محاسبه ی حد بالای کنترل نمودار فوق از شبیه سازی براساس متوسط طول دنباله استفاده شده است که در فصل چهارم این پایان نامه به شرح کامل آن پرداخته می شود. این روش پیشنهادی در گام های زیر اجرایی می شود:

در مرحله نخست مدل نقطه تغییر براساس آزمون نسبت درستنمایی مشابه زو و همکاران (۲۰۰۶) مطابق رابطه زیر تعریف می شود.
 

(۳-۱۰)
که در رابطه بالا عبارت است از نقطه تغییر و و بردار پارامترهای رگرسیون پواسون در حالت در کنترل و خارج از کنترل هستند.

در مرحله دوم به منظور تعیین زمان وقوع نقطه تغییر در آزمون نسبت درستنمایی برای آزمون فرض صفر و فرض مقابل آن که زو و همکاران (۲۰۰۶) مطابق رابطه ی زیر در نظر گرفته اند تعریف می شود. ایده اصلی در استفاده از آزمون نسبت درست نمایی ، جایگزین کردن و با برآوردکننده هایشان می باشد.
جهت دانلود متن کامل این پایان نامه به سایت abisho.ir مراجعه نمایید.
 

آماره نسبت درستنمایی که در این روش پیشنهادی مورد استفاده قرار گرفته در رابطه زیر نشان داده شده است.
(۳-۱۱)
در رابطه بالا و به ترتیب عبارتند از لگاریتم تابع درست نمایی در شرایط تحت کنترل و خارج از کنترل که نحوه ی محاسبه آن ها به صورت زیر است:
(۳-۱۲)
(۳-۱۳)
در روابط بالا عبارت است از بردار پروفایل های تحت کنترل که از فاز۱ به دست می آید و عبارت است از تخمین پارامتر T- پروفایل باقی مانده که با افزوده شدن هر پروفایل جدید در فاز دو کنترل فرایند آماری به روز رسانی می شود. در روابط بالا T تعداد پروفایل های اضافه شده در فاز ۲ و نقطه تغییر می باشد.

در مرحله سوم پس از محاسبه آماره نسبت درست نمایی ، نمودار کنترل بر اساس این آماره ایجاد می شود. اما از آن جا که مطابق زو و همکاران (۲۰۰۶) امید ریاضی آماره به مقدار وابستگی دارد، لذا به منظور خنثی نمودن اثر امیدهای نابرابر، در این پایان نامه مطابق زو و همکاران (۲۰۰۶) به منظور ایجاد نمودار کنترل از آماره ی نسبت درست نمایی استاندارد شده استفاده شده که در رابطه زیر نشان داده شده است.
 

(۳-۱۴)
امید ریاضی و انحراف معیار آماره با تکرار های مکرر شبیه سازی و میانگین گیری بدست می آیند که نحوه محاسبه آنها در فصل چهارم این پایان نامه به طور کامل شرح داده شده است.
۴٫ پس از محاسبه آماره های نسبت درستنمایی استاندارد شده، در مرحله بعد بیشینه آن ها از پروفایل اول تا هر پروفایلی که افزوده می شود محاسبه شده و به عنوان آماره نمودار پیشنهادی که پس از این در این پایان نامه تحت عنوان نمودار کنترل LRT از آن یاد می شود مورد استفاده قرار می گیرد. نحوه ی محاسبه این آماره در رابطه زیر نشان داده شده است. شایان ذکر است بیشینه ی آماره های نسبت درست نمایی با هربار افزوده شدن پروفایل جدید از پروفایل اول تا آخرین پروفایل، مقدار بیشینه را محاسبه نموده و لحاظ می کند. در واقع مقدار آن با افزوده شدن هر پروفایل جدید به روز رسانی می شود.
(۳-۱۵)
۵٫ حد بالای نمودار کنترل با بهره گرفتن از شبیه سازی محاسبه می شود که شرح کامل آن در مثال عددی فصل چهارم ملاحظه خواهد شد. با اضافه شدن هر پروفایل بیشینه ی آماره ی نسبت درستنمایی مطابق رابطه (۳-۱۵) محاسبه می شود چنانچه بیشینه ی آماره ی نسبت درستنمایی از مقدار حد بالای کنترل تجاوز نماید هشدار خارج از کنترل دریافت می شود و در صورتی که مقدار فوق کمتر باشد، فرایند پایش ادامه پیدا می کند و پروفایل بعدی افزوده شده و پس از بروز رسانی روابط (۳-۱۰) تا (۳-۱۵) ، آماره ی نسبت درستنمایی مجددا محاسبه شده و با حد بالای کنترل مقایسه می شود.
۶٫ به محض مشاهده هشدار خارج از کنترل، پروفایلی که آماره نسبت درستنمایی استاندارد شده ی آن در فاصله ی پروفایل اول تا پروفایلی که هشدار خارج از کنترل از آن گرفته شده، بیشترین مقدار را دارد، برآورد نقطه ی تغییر را به دست می دهد که رابطه آن به صورت زیر است.
(۳-۱۶)
شایان ذکر است که در رابطه بالا T شماره اولین پروفایلی است که نمودار کنترل lrt، هشدار خارج از کنترل داده است. نکته حایز اهمیت در این رویکرد این است که با افزوده شدن هر پروفایل جدید، همزمان با بررسی شرایط خارج از کنترل، به تخمین نقطه تغییر نیز پرداخته می شود، به عبارت دیگر به محض دریافت هشدار خارج از کنترل مقدار برآورد نقطه تغییر نیز اعلام می شود.
۷٫ با افزوده شدن هر پروفایل جدید مقدار T تغییر می کند و محاسبات مربوط به از پروفایل اول تا پروفایل T مجددا انجام می شود که بسیار زمان بر است. کاهش زمان انجام این محاسبه از اهمیت بسزایی برخوردار است. برای رسیدن به این هدف، در این پایان نامه رابطه ای بازگشتی بین و پیشنهاد می شود که به صورت رابطه زیر است:
(۳-۱۷)
در رابطه بالا جهت تخمین در آماره از رابطه زیر استفاده شده است.
(۳-۱۸)
اگر در رابطه بالا شبیه سازی ۱۰۰۰۰ مرتبه تکرار شود این رابطه بازگشتی زمان انجام محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد. رابطه بازگشتی فوق فقط یک تکنیک ریاضی برای کاهش زمان انجام محاسبات شبیه سازی می باشد.
۳-۳-۳ تخمین نقطه تغییر پروفایل های لجستیک با بهره گرفتن از براورد MLE
توزیع پروفایل لجستیک و شیفت در پارامترهای آن به صورت روابط زیر است (شرفی و همکاران،۲۰۱۳).
(۳-۱۹)
(۳-۲۰)
(۳-۲۱)
در روابط بالا متغیر پاسخ با توزیع دوجمله ای، متغیر مستقل، پارامتر توزیع دوجمله ای، و مقدار ثابت و و بردار پارامترهای رگرسیون لجستیک در حالت در کنترل و خارج از کنترل هستند که به صورت زیر تعریف می شوند:
(۳-۲۲)
در مدل رگرسیون لجستیک، n مجموعه آزمایشی مستقل با p متغیر پیشبینی در هر مجموعه وجود دارد که به صورت نشان داده می شود. در این مدل اطلاعات به گونه ای گروه بندی شده اند که درi مین سطح متغیر پیشبینی مشاهده وجود دارد. تابع درستنمایی پروفایل لجستیک به صورت زیر می باشد:
(۳-۲۳)
لگاریتم تابع درستنمایی پروفایل لجستیک به صورت زیر می باشد:
(۳-۲۴)
از رابطه بالا نسبت به مشتق می گیریم
(۳-۲۵)
در نتیجه از حل معادله فوق رابطه زیر حاصل می شود :
(۳-۲۶)
شرفی و همکاران(۲۰۱۳) بیان کرد که با جایگذاری این رابطه در رابطه ۳-۲۴ ، تخمین نقطه تغییر پروفایل لجستیک با روش MLE به صورت رابطه زیر بدست می آید:
(۳-۲۷)
۳-۳-۴ توسعه مدل نقطه تغییر پروفایل های لجستیک و ایجاد نمودار کنترلLRT
در این روش نیز مشابه مدل نقطه تغییر پروفایل های پواسون همزمان با توسعه مدل نقطه تغییر بر اساس آزمون نسبت درستنمایی، یک نمودار کنترل بر اساس آماره ی نسبت درستنمایی استاندارد شده در فاز۲ کنترل فرایند آماری ایجاد می شود. گام های این روش دقیقاً مشابه گام های روش مدل نقطه تغییر پروفایل های پواسون می باشد. برای پرهیز از تکرار مطالب فقط روابط ریاضی در گام های مختلف ذکر می شود.
(۳-۲۸)
(۳-۲۹)
(۳-۳۰)