درروش های کوادراتور با گام ثابت بازه ی مورد نظر به N زیر بازه مساوی و یکسان با طول گام h=تقسیم شده و برای حل معادلات انتگرال ، در مجموعه نقاط مجزای پیش خواهیم رفت.
بنابراین برای دستیابی به نوعی تقریب دقیق تر یعنی
نیاز داریم که مساله به صورت متوالی با طول گام های کوچکتر، تا زمانی که دو مجموعه تقریب های متوالی به دقت لازم برسند، حل شود. در قیاس با جواب عددی معادلات دیفرانسیل معمولی، روش های با طول گام متغیر برای تعیین جواب معادلات انتگرال ولترای نوع دوم در هر مرحله از محاسبات ، سعی درانتخاب طول گام بهینه که محک خطای فوق را برآورده کند، دارند [۴و۵] . خوشبختانه، این گونه تخمین اجرایی نیاز به بررسی دوباره محاسبات را رفع می کند و هم چنین انتخاب یک “طول گام بهینه” در هر مرحله نسبت به حالت طول گام ثابت به شرطی که انتخاب سرجمع پارامترها خیلی بزرگ نباشند، به صرفه تر خواهد بود.
یک روش با طول گام متغیر، در هر گام از جواب معادلات تقریبی نیاز به برآوردی از خطای محلی، یعنی خطای جمله صرف نظر شده و در قاعده کوادراتور که جمله انتگرال را در معادله ی

جایگزین می کند، دارد.
یاد آور می شویم که در حالت کلی فرم معادله انتگرال غیر خطی ولترای نوع دوم به صورت فوق است . فرض کنیم بازده [a,b] به N زیر بازه ی (لزوما غیر یکسان ) که در آن
با
افراز شده باشد . روش های با گام متغیر با تقریب جمله انتگرال ۳ .۱ برای
با یک قاعده کوادراتور به صورت

که در آن
پیش خواهد رفت. قاعده ی کوادراتور فوق منجر به مجموعه معادلات زیر خواهد شد:

که به نوبت معادلات تقریبی زیر را پدید خواهد آورد.
حال دو مساله مطرح خواهد شد.
-انتخاب مقادیر منجر به قواعد تقریب مراتب بالاتر، به دلیل غیر یکسان بود ن گام های بسیار مشکل تر است.
-ما به تخمین خطای محلی که انتخاب “بهترین” طول گام را برآورده می سازد، نیاز خواهیم داشت.
مشکل اول را با محدود کردن تعداد تغییرات طول گام (یعنی ، با قرار دادن یک طول گام ثابت برای یک گروه از گام ها) به آسانی رفع نمود. ما دراین پژوهش برای راحتی کار تنها به روشی توسط فیلیپس[۲۴] که در سال ۱۹۷۷ بر پایه ی قاعده ذوزنقه ای ارائه شده است ، اکتفا می کنیم و هم چنین روش را تنها برای معادلات خطی در نظر می گیریم.
ایده ی این روش بدین صورت است که جمله انتگرال واقع در ۳٫ ۱ را برای با یک قاعده ی کوادراتور به فرم ۳٫ ۲ ، که در آن
می باشند، جایگزین می کند [۴ و ۵] . با این کار تخمینی از به صورت به شکل زیر داده می شود
که در آن به منظور دستیابی به یک خطای تخمینی ، تخمین دوم از به صورت ، با انتگرال گیری نخست روی بازه ی و سپس ری بازه ی با طول گام ؛ در هر دو حالت با بهره گرفتن از قاعده ذوزنقه ای بدست خواهد آمد. بنابراین به تقریبی از نیاز داریم که به صورت زیر داده می شود.
سپس به صورت زیر داده خواهد شد
حال با بهره گرفتن از تعدادی فرضیات موضعی کننده [فیلیپس ۱۹۷۷]، معادلات زیر نتیجه خواهند شد [۴و ۵]:
که درآن ، متناظر باضرایب جملات خطای قاعده ذوزنقه ای با گام های معتبر بوده و به صورت زیر داده می شوند.
که در آن قاعده ذوزنقه ای با گام های متغیر به کار برده شده روی بازه ی
ممکن است به عنوان قاعده ای تکراری روی قاب های با عرض و یا قاعده ای دو نقطه ای روی تک قاب با عرض در نظر گرفته شود. فیلیپس الگوریتمی برای تعیین مقادیر را به صورت ترکیبی خطی از دو تقریب کوادراتور ارائه دادکه در واقع جمله ی خطای معادلات فوق را تعیین خواهد نمود و از آن مقداری «بهینه» برای بدست خواهد آمد که خطای ها را برای ما قبول می سازد فرض کنیم برای هریک به گونه ای انتخاب شود که شرایط زیر برقرار باشند:
سپس نتیجه می گیریم که
و جمله خطا در معادلات اخیر به صورت زیر کران دار خواهد شد.
بنابراین طول گام جدید بایستی به گونه ای انتخاب شود که در رابطه زیر صدق کند
فصل چهارم
روش بلوکی
این گونه فرم کلاس روش های خود-آغاز کننده، بلوکی از مقادیر را تولید نموده و در آن حل مسائل با پیشروی یک گام در زمانی مد نظر نکرده بلکه هدف ایجاد قاعده ای روی حوزه ای کوچک که از نقاط روی ناحیه بزرگتر استفاده کرده، می باشد[۴و۵]. حال جواب ۳٫ ۱ را روی دامنه با b-a=Nph در نظر می گیریم. یعنی بازه ی با طول [a,b] را به Nبازه ی مساوی تقسیم نموده و سپس هر کدام از این بازه ها را به p زیر بازه­ی با طول h افراز نموده ایم فرض کنیم مقادیر جواب تقریبی برای (r-1) بلوک نخست محاسبه شده باشند، سپس روش بلوکی [۲۵] معمولی در r امین مرحله مجموعه تقریب های زیر را تولید خواهد نمود.
برای ، معادله ی ۳٫ ۱ را به صورت زیربازنویسی می کنیم
(۴ .۱)
حال اگر از قواعد کوادراتور زیر برای تقریب جمله انتگرال در ۳ .۱استفاده کنیم.
(b4)
(b4)
به مجموعه معادلات تقریبی زیر می رسیم
توجه داریم که اگر ، علاوه بر این ، وزن های به گونه ای فرض شده اند که قاعده کوادراتور نخست فوق خطای مرتبه ی p ام را داشته باشد و دقت محاسبات با انتخاب مناسب وزن های حفظ شود.
مثال ۴٫ ۱ : فرض کنیم p=2 و در این صورت معادلات اخیر فوق به فرم زیر در خواهد آمد [۴و۵]
(۴٫ ۲)
که در آن را تعیین شده فرض می کنیم . نیز فرض کنیم وزن های ، وزن های قاعده ی تکراری سیمپسون باشند. در این صورت قاعده ی کوادراتور ذکر شده (a4) خطای از مرتبه ی را خواهد داشت. واضح است که در صورتی که ، قاعده ی سیمپسون برای دستیابی به تقریب انتگرال های موجود در ۴٫ ۱ به کار می رود بنابراین یک تقریب مرتبه ی سوم را برای x(a+(2n+2)h) به دست می دهد که فرم ۴٫ ۲ با i=2n+2 را خواهد داشت. برای i=2n+1 به منظور اطمینان از دقت محاسبات، بایستی از یک قاعده ی کوادراتور سه نقطه ای به فرم (b4) با خطای ی مرتبه ی استفاده کنیم. این قاعده با انتخاب وزن های زیر تحقق می یابد[۴و۵]
(۴٫ ۳)

(انتخاب های فوق به گونه ای اختیار شده اند که قاعده ی کوادراتور(b4) برای مرتبه دوم دقیق باشد.)
معادلات (a4) با i=2n+1,2n+2 فرم زیر را خواهند داشت:
که در آن
و
بنابراین درهر مرحله یک جفت معادلات غیرخطی را خواهیم داشت که بایستی با بهره گرفتن از یک روش تکراری حل شوند.
مثال ۴ .۲ : فرض کنیم معادله ی (b5) فرم تقریبی زیر را دارد:
که در آن وزن های با معادلات ۴٫ ۳ داده می شوند حال اگر تقریب فوق را به صورت زیر در نظر بگیریم
به طوری که هسته فقط در نقاط دامنه تعریف محاسبه می شود تنها به یک تقریب مرتبه ی دوم برای جواب در نیاز خواهیم داشت که با رابطه ی زیر بدست می آید.
که متناظر با مقدار چند جمله ای درونیاب درجه ی ۲ در که x(s) را در نقاط درونیابی می کند، می باشد.
فصل ۵
حل معادلات انتگرال ولترای خطی به روش بلوکی
۵٫ ۱ روش حل
یکی از روش های عددی حل معادلات انتگرال ولترا به روش های کوادراتور موسوم هستند. با بهره گرفتن از آن چه در فصول قبل گفته شد، این گونه روش ها در جهت حل معادلات انتگرال خطی نوع دوم به شکل
(۵ . ۱)

فرم کلی دستگاه معادلات خطی مثلثی به صورت زیر را پدید می آورند.
(۵ .۲)
سپس با حل دستگاه فوق ، جواب های عددی معادله ۵ .۱ به دست خواهند آمد مراجع [۹-۱] را ببینید.
در روش های بلوکی دستگاه منتج شده از گسسته سازی معادله انتگرال ولترا در تعیین جواب عددی آن، یک دستگاه بلوکی بوده و مثلثی نخواهد شد که در هر صورت شبیه به دستگاه های مثلثی خواهد بود یکی از روش های بلوکی،به روش بلوکی لینز[۲۶] موسوم است که در مراجع [۴و۵] توضیح داده شده است.
با بهره گرفتن از این روش دستگاه حاصل به صورت زیر داده خواهد شد.
دراین پایان نامه قصد داریم که یک روش کلی تعمیم یافته جهت احراز این گونه دستگاه ها ارائه دهیم.
در بررسی نظریه این روش قصد داریم از (۱+m) نقطه درونیابی برای ، به منظور حل معادلات انتگرال خطی ولترای ۵٫ ۱ و تقریب انتگرال سمت راست آن استفاده کرده و به صورت زیر عمل نماییم.
از این که دستگاه منتج شده (۱+mn) معادله خواهد داشت، فرض کنیم معادلات دستگاه به دست آمده به ترتیب معادله صفرم، یکم، دوم و… تا معادله ی mnام نامگذاری شوند.
درمرحله ی نخست، در معادلات pm ام برای به منظور تقریب از (m+1) نقطه ی درونیاب برای p مرتبه استفاده می کنیم . وزن های (۱+ m) نقطه ی درونیابی، با بهره گرفتن از چند جمله ای های لاگرانژ به صورت زیر محاسبه خواهند شد [۳].
(۵٫ ۴)
به عنوان یک نتیجه درمعادلات pm ام، بردار وزن ها به صورت زیر در خواهد آمد
(۵٫۵)
=

در مرحله دوم در معادلات (pm+i) ام برای i=1,2,…,(m-1) , p=0,1,…,(n-1) به صورت مشابه قبل با بهره گرفتن از (m+1) نقطه ی درونیابی برای p مرتبه به علاوه (m+1) نقطه ی درونیابی در نقاط که طرف راست جمله ی اانتگرال از معادله ی ۵٫۱ روی بازده را تقریب می زنند. وزن ها به صورت زیر دست خواهند امد.

برای