شکل (۳-۳): ناحیه دارای نقص درمعیارزوال مارسینیاک- کوزینسکی[۵].
این نقص اولیه می تواند واقعا ازضخامت کوچکتر، تغییرات مکانی مقاومت ماده یا ترکیبی ازهردو نشأت بگیرد. پارامتر نشان دهنده نقص،  ، به صورت زیر بیان می شود:
(۳-۱۱۲)
همانطور که درقسمت مرورمقالات گفته شد این تئوری نسبت به پارامترنقص بسیارحساس می باشد ومی بایست این پارامتر به دقت تعیین شود. در ابتدا فرض می شود که ناحیه نقص عمود برمحور تنش اصلی بزرگتر  است. این فرض می تواند ناحیه سمت راست نمودار حد شکل دهی رابه نتیجه بدهد. جهت تولید هردو ناحیه نمودارحد شکل دهی، آقایان هوچینسون[۱۳۳] و نیل[۱۳۴] این فرض را اصلاح کردند تا این اجازه را به ناحیه نقص بدهند که بتواند با یک زاویه  نسبت به محور تنش اصلی کوچکتر  قرار گیرد. این زاویه  باید طوری تعیین شود که کرنش های حدی پیش بینی شده، کمینه شوند. زاویه کرنش های حدی کمینه بستگی به نسبت کرنش ها دارد. برای حالت بارگذاری تناسبی برای مواد با ایزوتروپی صفحه ای، زاویه کشش صفرهیل[۱۳۵] می تواند برای محاسبه حد شکل دهی استفاده شود. در طی فرایند ایجاد کرنش دوبعدی، ناحیه ناقص بیشتر ازناحیه بدون نقص دچار تغییر شکل می شود. بنابراین مسیر کرنش ناحیه ناقص همواره بالاتراز مسیر کرنش ناحیه بدون نقص خواهد بود. درنقطه ای مشخص که تمرکز کرنش اتفاق می افتد، تفاوت بین مسیرکرنش ناحیه ناقص و ناحیه یکنواخت شروع به افزایش خیلی شدیدی می کند. درآنالیزمعیارمارسینیاک- کوزینسکی، مسیر کرنش هردو ناحیه دنبال شده ویک معیاری برای تشخیص این اختلاف شدید بین مسیرکرنش ها استفاده می شود. هنگامی که تمرکز کرنش تشخیص داده شد، فرض می شود که آن ورق دچار زوال شده است.
فرض کنید شکل (۳-۳) به عنوان نمایی از یک هندسه مدل داده شده است. بنابراین طبق توضیحات بالا مراحل زیر فرض می شود:

جهت دانلود متن کامل این پایان نامه به سایت abisho.ir مراجعه نمایید.
 

شرط تنش صفحه ای فرض می شود ویک نقص اولیه در ورق با پارامتر نقص اولیه  وجود دارد.
 

محور این نقص اولیه در ابتدا زاویه ای به اندازه  با جهت تنش اصلی کوچکتر،  ، می سازد.
 

فاز آسیب[۱۳۶] صرفه نظر شده وفرض حجم ثابت می تواند فرض شود:
 

و  (۳-۱۱۳)
و  (۳-۱۱۴)
شرط سازگاری نیز بدین صورت نوشته می شود:
و  (۳-۱۱۵)
ودر نهایت شرط تعادل نیرویی بین دوناحیه ناقص وناحیه بدون نقص بدین صورت فرمول بندی می شود:
و  (۳-۱۱۶)
در هربازه زمانی، پارامترهای ناحیه نقص در همان بازه زمانی مورد نظرباید درمحاسبات استفاده شوند. انتقال تانسورهای تنش وکرنش ناحیه یکنواخت از سیستم مختصات غیرایزوتروپیک (۱-۲-z) به دستگاه مختصات شیار (t-n-z) با بهره گرفتن از ماتریس چرخش مختصات بدین صورت انجام می شود:
و  (۳-۱۱۷)
که:
و  و  (۳-۱۱۸)
تغییرزاویه  با بهره گرفتن ازمعادله زیر توضیح داده می شود:
(۳-۱۱۹)
تغییرات پارامتر نقص،  ، با بهره گرفتن از معادله زیراتفاق می افتد:
(۳-۱۲۰)
زاویه کشش صفر هیل برای معیار تسلیم وان- مایسز این چنین است:
و  (۳-۱۲۱)
درنهایت برحسب نوع بارگذاری(مثلا بارگذاری تناسبی) افزایش کرنش در ماده بدون نقص محاسبه خواهد شد. سپس کرنش در ناحیه ناقص با بهره گرفتن از کرنش ها در ناحیه بدون نقص ومعادلات بالا، کرنش در ناحیه ناقص محاسبه می شود. نسبت بحرانی بین نرخ کرنش درناحیه b به ناحیه a مشخص کننده شروع زوال درناحیه ناقص خواهد بود که این نسبت می بایست بوسیله آزمایش تعیین گردد.
 

۳-۷-۴-۴- معیار نمودار حد شکل دهی ماسچنبورن- سون:
 

آقایان ماسچنبورن وسون در سال ۱۹۷۵ روشی را برای پیش بینی تاثیر مسیر تغییر شکل بر حدشکل دهی ورق ها پیشنهاد دادند که برپایه کرنش پلاستیک معادل استوار بود. آنها فرض کردند نمودار حد شکل دهی نماینده مجموعه بیشترین کرنش های پلاستیک معادل قابل دسترسی می باشد. آباکوس ازیک حالت تعمیم یافته ی این ایده استفاده می کند تا به یک معیاری جهت ناپایداری تسلیم ورق ها درمسیرهای تغییر شکل دلخواه دست پیدا کند. این رویکرد نیاز به انتقال نمودار حد شکل دهی اولیه (بدون درنظرگیری تاثیرات تغییر شکل اولیه) از فضای کرنش های اصلی برحسب کرنش های فرعی به فضای کرنش پلاستیک معادل،  ، برحسب نسبت نرخ کرنش های  دارد.
(۳-۱۲۲)
برای مسیرهای خطی کرنش، با فرض تراکم ناپذیری پلاستیک ونادیده گرفتن کرنش های الاستیک خواهیم داشت:
(۳-۱۲۳)
(۳-۱۲۴)
همانطورکه درشکل(۳-۴) نشان داده شده است، مسیرتغییر شکل خطی درنمودارحد شکل دهی به مسیر عمودی درنمودار  (  ثابت) انتقال پیدا می کند. براساس معیار ماسچنبورن- سون، اولین تسلیم موضعی زمانی اتفاق می افتد که روند حالت های تغییر شکل درنمودار  با نمودارحد برخورد کند. نکته قبل تامل آن است که برای مسیرهای تغییر شکل خطی، هردو نمودار حدشکل دهی و نمودار ماسچنبورن- سون، یک معیاری را نشان می دهند وهردو یکسان پیش بینی می کنند؛ اگرچه برای مسیرهای بارگذاری دلخواه، نمودار ماسچنبورن- سون مسلما اثرتغییر شکل های قبلی را نیزبا بهره گرفتن از کرنش پلاستیک معادل تجمعی درنظر می گیرد.

شکل (۳-۴): انتقال نمودارحدشکل دهی برپایه کرنش (a) به نمودارحدشکل دهی ماسچنبورن- سون (b). مسیرخطی تغییرشکل به مسیرعمودی آن انتقال پیدا می کند[۱۰۸].

۳-۸- تماس [۱۰۸]:
 

یکی ازمباحث گسترده ومهم درشبیه سازی فرایندهای تغییرشکل، تعریف نحوه ایجادتماس وروش های آن درهنگام برخورد قطعات به یکدیگر می باشد. ازآنجا که بیان همه مطالب این مبحث بسیارگسترده دراینجا مقدورنیست، لذا به پاره ای ازنکات مهم آن ونحوه مدل سازی آن پرداخته می شود.
 

۳-۸-۱- سطوح تماس[۱۰۸]:
 

درمعرفی پدیده تماس، می بایست درابتدا سطوحی ازقطعات به عنوان نماینده آنها درهنگام تماس شناخته شوند که بعدا خصوصیات وپارامترهای معرفی شده دراین پدیده به این سطوح نسبت داده می شوند. درتحلیل های تماس کلا چهارگروه ازسطوح را می بایست شناخت:

سطوح صلب یا انعطاف پذیر برپایه المان
 

سطوح صلب یا انعطاف پذیربر پایه گره
 

سطوح صلب تحلیلی[۱۳۷]
 

سطوح متالورژیکی اویلری[۱۳۸]
 

۳-۸-۱-۱- به حساب آوردن ضخامت درپوسته ها وغشاها:
 

همه انواع تماس ها به جزت تماس گره با سطح، درفرمول بندی های خود به صورت پیش فرض برای سطوح با پایه المان، ضخامت اولیه رابرای پوسته ها وغشاها درنظر می گیرند. سطوح برپایه گره، اساسا ضخامتی ندارند واین مستقل ازآن است که کدام المان برای گره های این سطوح درنظر گرفته شود. ازآنجا که درنظرگیری ضخامت المان درمحاسبات تماس به طور کلی مناسب است، اما شما می توانید به طور دلخواه اثر ضخامت را درنظرنگیرید. بنابراین خصوصیاتی ازسطوح که قبلا تعریف نشده اند، نظیر ضخامت یا انحراف[۱۳۹]، می توانند برای سطوح مورد نظردرمدل سازی تماس تعریف شوند.

۳-۸-۱-۲- توانایی های دو رویکرد تماس جفتی[۱۴۰] وتماس کلی[۱۴۱]:
 

درحالت کلی، دو رویکرد برای معرفی تماس بین سطوح درآباکوس وجود دارد: ۱) رویکرد تماس جفتی ۲) رویکرد تماس کلی.
دو رویکرد تماس جفتی وتماس کلی با یکدیگر ترکیب می شوند تا توانایی های زیر را تولید کنند:
تماس بین دوجسم انعطاف پذیر: سازه ها می توانند دو یا سه بعدی باشند ومی توانند تحت لغزش کوچک[۱۴۲] یا محدود[۱۴۳] قرار گیرند. مثالی ازاین گونه مسائل، سرهم بندی کردن درپوش آب بندی یک سیلندر است که لغزش بین دو مولفه ای که رزوه دار شده اند ایجاد می شود.
تماس بین یک سطح صلب ویک جسم انعطاف پذیر: مثالی از این گونه مسائل، شبیه سازی های شکل دهی فلزات یا آب بندی های لاستیکی پرس شده ی بین دو مولفه سخت، می تواند باشد.
لغزش خودتماسی[۱۴۴] در یک جسم انعطاف پذیر تنها: یک مثال ازاین گونه مسائل یک آب بندی لاستیکی پیچیده است که تا زده می شود.
لغزش کوچک یا محدود درحالت درهمکنش بین یک مجموعه ای از گره ها ویک سطح صلب: مثال آن پیچیده شدن یک کابل به دور قرقره است اگرقرقره صلب فرض شود.
تماس بین یک مجموعه از گره ها ویک سطح انعطاف پذیر: مثال آن طراحی یک یاتاقان است هنگامی که یکی ازسطح یاتاقان به صورت زیر سازه[۱۴۵] مدل سازی شود.
مسائلی که دو سطح مجزا می بایست به یکدیگر محکم شوند تا هیچ حرکت نسبی بین آنها اتفاق نیفتد. این مدل سازی اغلب برای اتصال شبکه بندی های غیر هم نوع به کار برده می شود.
اندرکنش دما- مکانیک بین اجسام انعطاف پذیر با حرکت نسبی محدود: آنالیز یک دیسک ترمزمثالی ازاین قبیل مسائل است.

۳-۸-۲- تعریف جفت تماس[۱۰۸]:
 

برای تعریف یک جفت تماس می بایست ابتدا مشخص کرد که کدام جفت تماس ممکن است با یکدیگراندرکنش داشته یا بایک سطح دیگری تماس برقرا کنند. سطوح تماس می بایست به اندازه کافی گسترده شده باشند تا همه نواحی که ممکن است درطی آنالیز بایکدیگرتماس برقرار کنند را پوشش دهند؛ اگرچه درنظرگرفتن گره های زیاد یا سطوحی که اصلا تماس برقرار نمی کنند ممکن است باعث صرف وقت زیادی جهت آنالیزگردد.
 

۳-۸-۲-۱- تعریف تماس بین دوسطح مجزا:
 

هنگامی که یک جفت تماس دوسطح را شامل می شود، می بایست مشخص کرد که کدام سطح، سطح پیرو[۱۴۶] وکدام سطح، سطح پیشرو[۱۴۷] خواهد بود. دراین صورت، حرکت سطح پیرو مطابق حرکت سطح پیشروانجام می گیرد.